Je fraktál pouhá geometrie nebo opravdu umělecký artefakt?
V pokračujícím článku o fraktálech vám přiblížím matematický princip, ze kterého fraktálová geometrie vychází.
Abychom pochopili, o co vlastně jde, je nutné si představit klasickou Euklidovskou geometrii, kterou známe ze školy, a ve které má každý objekt tzv. dimenzi hodnoty 1 (např. přímka), 2 (např. trojúhelník, resp. rovina) nebo 3 (např. jehlan, resp. trojrozměrný prostor). Uvedená hodnota je vlastně počet parametrů, které jsou potřeba k jednoznačnému určení objektu. Tato dimenze se nazývá topologická.
Ve fraktální geometrii je objekt určován podle tzv. dimenze fraktální neboli Hausdorffovy – Besicovitchovy, která určuje míru nepravidelnosti objektu. Z číselného pohledu se jedná o to, že hodnota dané dimenze je vždy o nějaké to desetinné číslo (až k iracionálnosti) větší než v dimenzi topologické. Čím je tato dimenze větší v intervalu mezi dvěma celočíselnými hodnotami (1 - 2, 2 - 3), tím je objekt členitější. A právě takový objekt se nazývá fraktál. Říká se také, že fraktální objekty vzniklé vytvořením kopií původního objektu jsou statisticky soběpodobné. V podstatě můžeme říct, že např. zvětšením či zmenšením objektu se díky teorii chaosu (náhodnému působení vnějších vlivů) nikdy nedosáhne dokonale věrné kopie. Vzhled těchto objektů zaujme především svou harmonií mezi určitou pravidelností a nahodilostí, podobně jako přírodní útvary, které možná působí chaoticky, přesto u nich vnímáme určitý "neumělý" řád.
Vztah pro výpočet dimenze: D = log N / log (1/r)
D - označení fraktální dimenze objektu
N - faktor změny délky
1/r - faktor změny měřítka
r - délka jednoho nově vzniklého dílku při rozdělení původního útvaru či jeho části
Představme si, že máme čtverec (resp. jeho obvod), ve třetině každé jeho strany vytvoříme nový čtverec (bez jedné strany - vznikne tak spojitá, lomená čára bez derivace ve všech bodech). V podstatě jsme původní délku strany přetransformovali na 1/3 (r = 1/3) původní hodnoty, počet samopodobných úseků bude 5 (N = 5).
D = log 5 / log 3 = 1,46
Tato hodnota řadí nově vzniklý útvar někam mezi přímku (D=1) a plochu (D=2). Nově vzniklý útvar bude zřejmě neustálou transformací převeden v objekt, který bude mít ve fraktálovém pojetí nekonečný obvod a jím vymezený obrazec bude mít konečnou plochu. Jednoduché, že?
25-10-2005